РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА
«Трудные вопросы математики»
для обучающихся 8-9 классов

г. Екатеринбург 2026

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Общая характеристика курса
Настоящая рабочая программа курса «Трудные вопросы математики. 8–
9 классы» разработана в соответствии с требованиями федерального
государственного образовательного стандарта основного общего образования
(далее – ФГОС ООО) и направлена на организацию обучения
математическому содержанию, выходящему за рамки Федеральной рабочей
программы по учебному предмету «Математика» (базовый уровень)
основного общего образования (далее – ФРП),
При разработке Программы учитывались следующие документы:
– распоряжение Правительства Российской Федерации от 19 ноября
2024 г. № 3333-р «Об утверждении комплексного плана мероприятий по
повышению качества математического и естественно-научного образования
на период до 2030 года».
Актуальность курса
В условиях реализации такой стратегической задачи, как достижение
технологического суверенитета страны, перед математическим образованием
в числе главных поставлены следующие цели: развитие творческих и
исследовательских способностей обучающихся, их подготовка в процессе
обучения математике к выбору профессий, связанных с развитием точных и
естественных наук и технологий. Как важный количественный показатель
повышения интереса к математике выделяется рост количества выпускников,
выбирающих на государственной итоговой аттестации экзамен по
математике на профильном уровне.
Освоение предлагаемой Программы способствует повышению у
обучающихся уровня мотивации к изучению математики, к продолжению
изучения математики в 10–11 классах на углубленном уровне и ориентирует
на выбор единого государственного экзамена по математике профильного
уровня. Кроме того, освоение предлагаемого в Программе содержания
позволяет расширить круг решаемых математических задач за счет
включения проблемных, нестандартных задач, задач прикладного характера,
выполнения исследовательских работ, в том числе с межпредметным
содержанием, изучения дополнительных вопросов как теоретического, так и
практического характера.
Программа соответствует идее расширения прикладной направленности
курса математики на уровне основного общего образования.
Цель и задачи курса

Цель Программы – обеспечить индивидуальные потребности
обучающихся в изучении содержания математики, выходящего за рамки
программы базового уровня.
Задачи курса:
1. Повышение уровня математической подготовки обучающихся,
развитие устойчивого интереса к учебному предмету «Математика».
2. Развитие творческих способностей, пространственного воображения,
теоретического мышления и математической интуиции, умений рассуждать
логически и анализировать ситуации.
3. Углубление и закрепление базовых знаний, формирование
устойчивых навыков решения нестандартных и олимпиадных задач, освоение
нестандартных подходов и оригинальных решений.
4. Ознакомление с дополнительными разделами математики,
выходящими за рамки базового курса.
5. Воспитание самостоятельности, настойчивости и организованности в
ходе решения сложных задач.
7. Подготовка обучающихся к участию в школьных, районных,
городских, региональных, всероссийских олимпиадах, конкурсах и
соревнованиях по математике.
8. Повышение уровня грамотности в области использования
«математических пакетов», обеспечивающих автоматизацию процессов
поиска, анализа, обработки, создания, передачи, формализации (в виде
статических и динамических графиков, диаграмм и прочих визуализаций
результатов анализа и математических закономерностей) в процессе учебной
деятельности при изучении математики.
9. Таким образом, реализация Программы содействует получению
следующих результатов:
–
достижение
обучающимися
планируемых
личностных,
метапредметных и предметных результатов, в т. ч. соответствующих
углубленному уровню изучения математики;
– развитие личности обучающихся, формированию и удовлетворению
их социально значимых интересов и потребностей.
Тематическое планирование в программе курса деятельности «Трудные
вопросы математики» составлено так, что распределение содержательных
разделов в нем синхронизировано с обязательной программой базового
уровня. Реализация содержания предлагается в формах, отличных от
урочных. Следует отметить, что данный курс в основной школе

выстраивается не только на расширении математического содержания
базового уровня, но и на повышении уровня сложности задач, предлагаемых
для решения.
Рабочая программа курса «Трудные вопросы математики»
предназначена для реализации в 8–9 классах и направлена на достижение
обучающимися планируемых результатов. Последовательность изучения тем
курса совпадает по времени с изучением курса математики (алгебры и
геометрии) основной школы базового уровня, все темы по возможности
синхронизированы с базовым курсом математики по классам. Темы по
алгебре и геометрии чередуются, что позволяет максимально приблизить их
по времени изучения к освоению базового курса.
Формы деятельности обучающихся предусматривают активность и
самостоятельность, широкое использованием исследовательской и проектной
деятельности, решением нестандартных задач и др.
Реализация Программы предполагает сочетание различных форм
групповой работы (дискуссия; математическое соревнование; практикум;
выбор темы проекта, планирование работ, распределение ролей,
взаимооценка при выполнении групповых проектов и исследований) и
индивидуальной работы (выполнение индивидуального исследования, в том
числе с использованием цифровых инструментов; проведение устного
обоснования при решении нестандартных задач, задач повышенного уровня
сложности; построение математических моделей, их исследование;
интерпретация полученных результатов при решении задач с
межпредметным и практическим содержанием; поиск, интерпретация,
преобразование
и
применение
математической
информации;
самостоятельное открытие нового математического факта). Использование
таких форм работы помогает развивать у обучающихся, с одной стороны,
навыки восприятия новой информации при различных формах ее подачи, а с
другой стороны – активность, самостоятельность и способность к творчеству.
Программа курса рассчитана на 68 часов в течение двух лет обучения в
8–9 классах (34 часа в каждом классе) при проведении занятий один раз в
неделю.

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА «ТРУДНЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ»
8 КЛАСС
Числа и вычисления
Квадратный корень. Выполнение операций с иррациональными
числами.
Алгебраические выражения
Дробно-рациональные
выражения.
Степени.
Выполнение
тождественных преобразований рациональных выражений.
Центральная симметрия
Формулировка определения и доказательство свойств центральносимметричных фигур. Деление отрезка на равные части с помощью циркуля
и линейки. Исследовательская работа: свойства центрально-симметричных
фигур.
Проект: центральная симметрия в окружающем мире.
Четырёхугольники
Параллелограмм, его признаки и свойства. Прямоугольник, ромб,
квадрат, их признаки и свойства. Трапеция. Равнобедренная трапеция, еѐ
свойства и признаки. Средняя линия треугольника и средняя линия трапеции.
Свойства и признаки специальных видов четырѐхугольников
Исследовательская работа: знакомые и незнакомые четырѐхугольники.
Уравнения и неравенства
Определение равносильных уравнений. Применение свойств уравнений
с одной переменной. Определение количества действительных корней
квадратного уравнения. Решение дробно-рациональных уравнений,
сводящихся к линейным или к квадратным уравнениям, использование
метода замены переменной. Решение текстовых задач алгебраическим
способом: переход от словесной формулировки условия задачи к
алгебраической модели путем составления уравнения; решение
составленного уравнения; интерпретация результата. Графическая
интерпретация уравнений с двумя переменными.
Решение систем уравнений, в которых одно из уравнений не является
линейным. Графическая интерпретация решения уравнения с двумя
переменными и систем уравнений с двумя переменными. Решение
нелинейных неравенств и их систем. Решение неравенств, содержащих знак
модуля. Изображение решения неравенства с одной переменной и системы
неравенств на координатной прямой, запись решения с помощью символов.

Неравенство с двумя переменными. Графический метод решения систем
неравенств с двумя переменными.
Исследовательская работа: равносильность и следствие.
Исследовательская работа: графическая интерпретация уравнений с
двумя переменными.
Исследовательская работа: графический метод решения систем
неравенств с двумя переменными.
Преобразование подобия
Преобразование подобия и подобные фигуры. Соотношения в подобных
фигурах.
Исследовательская работа: что такое фрактал?
Доказательства неравенств
Оценка значения выражения с использованием неравенств. Применение
свойств неравенств в ходе решения задач. Определение равносильных
неравенств. Доказательство неравенств. Решение текстовых задач с помощью
линейных неравенств с одной переменной.
Исследовательская работа: линейное неравенство с одной переменной
с параметром.
Прямоугольные треугольники
Теорема Пифагора и еѐ применение при решении практических задач.
Доказательство соотношений между пропорциональными отрезками в
прямоугольном треугольнике (высота, проведѐнная из вершины прямого
угла; метрические соотношения). Применение соотношений при решении
геометрических задач. Тригонометрические функции острого угла
прямоугольного треугольника (синус, косинус, тангенс, котангенс). Значения
тригонометрических функций для углов 30°, 45°, 60°. Решение задач с
использованием тригонометрических функций.
Практикум: решение практико-ориентированных задач.
Математическое соревнование: решение задач разными методами.
Функции
Поиск области определения и множества значений функции. График
функции k/x. Функция вида (ax + b)/(cx + d).
Числа и вычисления: делимость
Формулировка определения делимости нацело, чисел, сравнимых по
данному модулю. Выполнение деления с остатком. Доказательство и
применение свойств сравнений по модулю. Нахождение остатков суммы и
произведения по данному модулю.
Исследовательская работа: делимость.

9 КЛАСС
Уравнения и неравенства
Биквадратные уравнения. Методы равносильных преобразований,
замены переменной, графического метода при решении уравнений 3-й и 4-й
степеней. Решение неравенств, содержащих знак модуля. Неравенство с
двумя переменными. Применение графического метода решения систем
неравенств с двумя переменными. Решение дробно-рациональных уравнений
и неравенств. Построение графиков уравнений, в том числе с использованием
цифровых ресурсов. Приводить графическую интерпретацию решения
уравнения с двумя переменными и систем уравнений с двумя переменными.
Исследование систем нелинейных уравнений с параметром. Решение
неравенств с двумя переменными и их систем.
Исследовательские работы: решение задач с параметрами –
алгебраическим методом; графическим методом.
Решение треугольников
Теорема синусов и теорема косинусов, их применение при решении
треугольников
и
практических
задач.
Соотношения
между
тригонометрическими функциями. Простейшие формулы приведения,
выводимые из геометрических соображений. Нахождение радиуса описанной
окружности.
Формула
Герона.
Формула
площади
выпуклого
четырѐхугольника.
Практикум: решение геометрических и практико-ориентированных
задач разными методами.
Алгебраические выражения
Степень с рациональным показателем.
Определение корня n-й степени и степени с рациональным показателем.
Применение операции извлечения корня n-й степени, используя при
необходимости калькулятор. Вычисление значения степени с рациональным
показателем. Оценка значений корня n-й степени, значение степени с
рациональным показателем целыми числами и десятичными дробями.
Сравнение и упорядочивание рациональных и иррациональных чисел,
записанных с помощью корня n-й степени, степени с рациональным
показателем. Выполнение тождественных преобразований выражений,
содержащих корень n-й степени, степень с рациональным показателем.
Подобие треугольников
Теоремы о произведении отрезков хорд, теоремы о произведении
отрезков секущих, теорема о квадрате касательной, теоремы Чевы и Менелая.
Исследование, в том числе с помощью цифровых ресурсов, изучаемых

конфигураций. Применение данных теорем при решении геометрических
задач. Знакомство с понятием гомотетии, с его применением, в том числе в
практических ситуациях.
Исследовательская работа (с использованием программных средств):
гомотетия и ее свойства.
Функции
Понятие «функция». Применение свойств функций: нули функции,
промежутки знакопостоянства функции, промежутки возрастания и
убывания функции, четные и нечетные функции, наибольшее и наименьшее
значения функции при решении задач. Построение графиков функций с
помощью преобразований вида: f(x) →f(x) + а; f(x) → f(x + а); f(x) → kf(x),
f(x) →f(| x |), f(x) → | f(x) |.
Распознавание степенных функций и построение эскизов графиков
степенных функций с натуральными показателями разной четности.
Использование свойств графиков степенных функций с натуральными
показателями при решении задач. Построение графиков функций y= √x , y =
∛ x, y = | x |.
Исследовательская работа: поведение функции и ее графика в
зависимости от параметра.
Метод координат
Параллельность и перпендикулярность прямых (через угловой
коэффициент).
Нахождение пересечений окружностей и прямых в координатах.
Формула расстояния от точки до прямой. Площадь параллелограмма в
координатах, понятие об ориентированной площади. Применение метода
координат
в
практико-ориентированных
геометрических
задачах,
исследование приложения метода координат в вычислительной математике и
информатике.
Исследовательская работа: решение практико-ориентированной
геометрической задачи методом координат.
Правильные многоугольники. Окружность и многоугольники
Понятие правильного многоугольника. Формулы для вычисления
элементов правильных многоугольников (сторона, радиус вписанной и
описанной окружностей). Вывод формул длины окружности и площади
круга. Длина дуги окружности, радианная мера угла. Площадь круга и
площадь кругового сектора. Вычисление периметров и площадей сложных
фигур, включающих элементы круга.

Самостоятельное открытие: как найти периметр и площадь сложной
фигуры?
Практикум: решение задач повышенной сложности.
Числовые последовательности и прогрессии
Определение
видов
последовательностей:
ограниченная
последовательность,
монотонно
возрастающая
(убывающая)
последовательность. Представление бесконечных периодических дробей в
виде
обыкновенных.
Знакомство
с
понятием
сходимости
последовательности,
нахождение
суммы
бесконечно
убывающей
геометрической прогрессии. Применение метода математической индукции.
Исследовательская работа: поведение последовательностей – от
гипотезы до доказательства.
Движения плоскости
Центральная симметрия. Центрально-симметричные фигуры. Поворот.
Осевая симметрия. Фигуры, симметричные относительно некоторой оси.
Параллельный перенос. Понятие движения и его свойства. Равенство фигур.
Проявления симметрии в природе, живописи, скульптуре, архитектуре.
Композиции движений (простейшие примеры). Применение в решении
геометрических задач.
Исследовательская работа (с использованием программных средств):
композиция движений.

ПЛАНИРУЕМЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1) патриотического воспитания:
- проявление интереса к прошлому и настоящему российской
математики;
- ценностное отношение к достижениям российских математиков и
российской математической школы, к использованию этих достижений в
других науках и прикладных сферах;
2) гражданского и духовно-нравственного воспитания:
готовность к выполнению обязанностей гражданина и реализации его
прав; представление о математических основах функционирования
различных структур, явлений, процедур гражданского общества (например,
выборы, опросы), готовность к обсуждению этических проблем, связанных с
практическим применением достижений науки; осознание важности
морально-этических принципов в деятельности ученого;
3) трудового воспитания: установка на активное участие в решении
практических задач математической направленности; осознание важности
математического образования на протяжении всей жизни для успешной
профессиональной деятельности и развитие необходимых умений;
осознанный выбор и построение индивидуальной траектории образования и
жизненных планов с учетом личных интересов и общественных
потребностей;
4) эстетического воспитания: способность к эмоциональному
и эстетическому восприятию математических объектов, задач, решений,
рассуждений; умение видеть математические закономерности в искусстве;
5) ценности научного познания: ориентация в деятельности на
современную систему научных представлений об основных закономерностях
развития человека, природы и общества; понимание математической науки
как сферы человеческой деятельности, этапов ее развития и значимости для
развития цивилизации; овладение языком математики и математической
культурой как средством познания мира; овладение навыками
исследовательской деятельности;
6) физического воспитания, формирования культуры здоровья и
эмоционального благополучия: готовность применять математические
знания в интересах своего здоровья, ведения здорового образа жизни
(здоровое питание, сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная

физическая активность), сформированность навыка рефлексии, признание
своего права на ошибку и такого же права другого человека;
7)
экологического
воспитания:
ориентация на
применение
математических знаний для решения задач в области сохранности
окружающей среды; планирование поступков и оценка их возможных
последствий для окружающей среды; осознание глобального характера
экологических проблем и путей их решения;
8) адаптации к изменяющимся условиям социальной и природной среды:
готовность к действиям в условиях неопределенности, повышению
уровня своей компетентности через практическую деятельность, в том числе
умение учиться у других людей, приобретать в совместной деятельности
новые знания, навыки и компетенции из опыта других; необходимость
формировать новые знания, формулировать идеи, понятия, гипотезы об
объектах и явлениях, в том числе ранее не известных, осознавать дефициты
собственных знаний и компетентностей, планировать свое развитие;
способность осознавать стрессовую ситуацию, воспринимать стрессовую
ситуацию как вызов, требующий контрмер, корректировать принимаемые
решения и действия, формулировать и оценивать риски и последствия,
формировать опыт;
9) воспитания информационной культуры:
проявление интереса к использованию цифровых технологий для
оптимизации процессов поиска, анализа, обработки, создания, передачи
математической информации и визуализаций математических обобщений и
результатов анализа; готовность к использованию цифровых инструментов
для выполнения учебной деятельности при изучении математики;
способность применять цифровые инструменты в условиях реализации мер
по предупреждению возможных негативных последствий активного и
систематического применения цифровых технологий в учебных целях.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1. Познавательные универсальные учебные действия
1) Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических
объектов, понятий, отношений между понятиями, формулировать
определения понятий, устанавливать существенный признак классификации,
основания для обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать,
формулировать
и
преобразовывать
суждения:
утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие, условные;

выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия
в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях, предлагать критерии для
выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и
индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
разбирать доказательства математических утверждений (прямые и от
противного), проводить самостоятельно доказательства математических
фактов, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры,
применять метод математической индукции, обосновывать собственные
рассуждения;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько
вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учетом
самостоятельно выделенных критериев).
2) Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания,
формулировать
вопросы,
фиксирующие
противоречие,
проблему,
самостоятельно устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу,
аргументировать свою позицию, мнение;
проводить по самостоятельно составленному плану эксперимент,
исследование по установлению особенностей математического объекта,
зависимостей объектов между собой;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам
проведенного наблюдения, исследования, эксперимента, оценивать
достоверность полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать
предположения о его развитии в новых условиях.
3) Работа с информацией:
выявлять недостаточность и избыточность информации, данных,
необходимых для решения задачи;
выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать
информацию различных видов и форм представления;
выбирать форму представления информации и иллюстрировать
решаемые задачи схемами, диаграммами, иной графикой и их комбинациями;
оценивать надежность информации по критериям, предложенным или
сформулированным самостоятельно.
2. Коммуникативные универсальные учебные действия:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и
целями общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в

устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи,
комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы,
проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск
решения, сопоставлять свои суждения с суждениями других участников
диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в корректной форме
формулировать разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования,
проекта, самостоятельно выбирать формат выступления с учетом задач
презентации и особенностей аудитории;
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной
работы при решении учебных математических задач, принимать цель
совместной деятельности, планировать организацию совместной работы,
распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат
работы, обобщать мнения нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений,
«мозговые штурмы» и иные); выполнять свою часть работы и
координировать свои действия с другими членами команды, оценивать
качество результата и качество своего вклада в общий результат по
критериям, сформулированным участниками взаимодействия.
3. Регулятивные универсальные учебные действия
1) Самоорганизация:
выявлять проблемы для решения в жизненных и учебных ситуациях,
ориентироваться в различных подходах принятия решений (индивидуальное,
групповое);
самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи (или его
часть), выбирать способ решения с учетом имеющихся ресурсов и
собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты
решений с учетом новой информации.
2) Самоконтроль:
владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата
решения математической задачи, самомотивации и рефлексии;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи,
вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств,
найденных ошибок, выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата деятельности поставленной цели и
условиям, объяснять причины достижения или недостижения цели, находить
ошибку, давать оценку приобретенному опыту.

3) Эмоциональный интеллект:
выражать эмоции при изучении математических объектов и фактов,
давать эмоциональную оценку решения задачи.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
8 КЛАСС:
1) Понимать и использовать представления о расширении числовых
множеств.
2)
Свободно
оперировать
понятиями:
квадратный
корень,
арифметический квадратный корень, иррациональное число, находить,
оценивать квадратные корни, используя при необходимости калькулятор,
выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни,
используя свойства корней.
3) Использовать начальные представления о множестве действительных
чисел для сравнения, округления и вычислений, изображать действительные
числа точками на координатной прямой.
4) Использовать записи больших и малых чисел с помощью десятичных
дробей и степеней числа 10, записывать и округлять числовые значения
реальных величин с использованием разных систем измерений.
5) Свободно оперировать понятием остатка по модулю, применять
свойства сравнений по модулю, находить остатки суммы и произведения по
данному модулю.
6) Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных
выражениях.
7) Применять основное свойство рациональной дроби.
8) Выполнять приведение алгебраических дробей к общему
знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей.
9)
Выполнять
тождественные
преобразования
рациональных
выражений.
10) Применять преобразования выражений для решения различных
задач из математики, смежных предметов, из реальной практики.
11) Применять понятие степени с целым показателем, выполнять
преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем.
12) Находить допустимые значения переменных в выражениях,
содержащих арифметические квадратные корни.
13) Выполнять преобразования иррациональных выражений, используя
свойства корней.
14) Решать дробно-рациональные уравнения.

15) Решать линейные уравнения с параметрами, несложные системы
линейных уравнений с параметрами.
16) Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе
с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли
уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и
прочее).
17) Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической
модели с помощью составления уравнения или системы уравнений,
интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат.
18) Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки,
решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать
графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы
неравенств. Доказывать неравенства.
19) Понимать и использовать функциональные понятия и язык
(термины, символические обозначения), определять значение функции по
значению аргумента, определять свойства функции по ее графику.
20) Строить графики функций, описывать свойства числовой функции
по ее графику. Распознавать основные виды четырехугольников, их
элементы, пользоваться их свойствами при решении геометрических задач.
Различать признаки и свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника,
доказывать их и уверенно применять при решении геометрических
задач.Распознавать центрально-симметричные фигуры и использовать их
свойства при решении задач.
21) Владеть понятиями подобия треугольников, коэффициента подобия,
соответственных элементов подобных треугольников. Иметь представление о
преобразовании подобия и о подобных фигурах. Пользоваться признаками
подобия треугольников при решении геометрических задач. Доказывать и
применять отношения пропорциональности в прямоугольных треугольниках.
Доказывать и применять теорему Фалеса. Применять подобие в практических
задачах.
22) Выводить и использовать простейшие формулы для площади
треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Вычислять (различными
способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур
(пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять метод площадей для
решения задач. Знать отношение площадей подобных фигур и применять при
решении задач. Применять полученные умения в практических задачах.
23) Применять полученные знания на практике – строить
математические модели для задач реальной жизни и проводить

соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрии
(пользуясь, где необходимо, калькулятором).
9 КЛАСС
1) Свободно оперировать понятиями: корень n-й степени, степень с
рациональным показателем, находить корень n-й степени, степень с
рациональным показателем, используя при необходимости калькулятор,
применять свойства корня n-й степени, степени с рациональным показателем.
2) Использовать понятие множества действительных чисел при решении
задач, проведении рассуждений и доказательств.
3) Сравнивать и упорядочивать действительные числа, округлять
действительные числа, выполнять прикидку результата вычислений, оценку
числовых выражений.
4) Свободно оперировать понятием квадратного трехчлена, находить
корни квадратного трехчлена.
5) Раскладывать квадратный трехчлен на линейные множители.
6) Решать несложные квадратные уравнения с параметром.
7) Решать несложные системы нелинейных уравнений с параметром.
8) Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с
ограничениями, например в целых числах.
9) Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе
с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли
уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и
прочее).
10) Решать текстовые задачи алгебраическим способом.
11) Использовать уравнения, неравенства и их системы для составления
математической модели реальной ситуации или прикладной задачи,
интерпретировать полученные результаты в заданном контексте.
12) Свободно оперировать понятиями: зависимость, функция, график
функции, прямая пропорциональность, линейная функция, обратная
пропорциональность, парабола, гипербола, кусочно-заданная функция.
13) Исследовать функцию по ее графику, устанавливать свойства
функций: область определения, множество значений, нули функции,
промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания,
четность и нечетность, наибольшее и наименьшее значения, асимптоты.
14) Распознавать квадратичную функцию по формуле, приводить
примеры квадратичных функций из реальной жизни, физики, геометрии.
15) Определять положение графика квадратичной функции в
зависимости от ее коэффициентов.

16) Строить график квадратичной функции, описывать свойства
квадратичной функции по ее графику.
17) Использовать свойства квадратичной функции для решения задач.
18) На примере квадратичной функции строить график функции y =
af(kx + b) + c с помощью преобразований графика функции y=f(x).
19) Иллюстрировать с помощью графика реальную зависимость или
процесс по их характеристикам.
20)
Свободно
оперировать
понятиями:
последовательность,
арифметическая и геометрическая прогрессии.
21) Задавать последовательности разными способами: описательным,
табличным, с помощью формулы n-го члена, рекуррентным.
22) Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена
арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов.
23) Изображать члены последовательности точками на координатной
плоскости.
24) Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том
числе задачи из реальной жизни (с использованием калькулятора, цифровых
технологий).
25) Распознавать и приводить примеры конечных и бесконечных
последовательностей, ограниченных последовательностей, монотонно
возрастающих (убывающих) последовательностей.
26) Иметь представление о сходимости последовательности, уметь
находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
27) Применять метод математической индукции при решении задач.
28) Доказывать теорему синусов и теорему косинусов, применять их для
нахождения различных элементов треугольника («решение треугольников»),
при решении геометрических задач. Применять полученные знания при
решении практических задач.
29) Применять тригонометрию в задачах на нахождение площади,
выводить и владеть тригонометрическими формулами для площади
треугольника, параллелограмма, ромба, трапеции, выводить и применять
формулу Герона и формулу для площади выпуклого четырехугольника.
30) Иметь представление о гомотетии, применять в практических
ситуациях.
31) Использовать теоремы Чевы и Менелая при решении задач.
32) Использовать теоремы о вписанных углах, углах между хордами
(секущими) и угле между касательной и хордой при решении геометрических

задач. Доказывать и применять теоремы о произведении отрезков хорд, о
произведении отрезков секущих, о квадрате касательной.
33) Владеть понятием координат на плоскости, работать с уравнением
прямой на плоскости. Владеть понятиями углового коэффициента и
свободного члена, понимать их геометрический смысл и связь углового
коэффициента с возрастанием и убыванием линейной функции. Уметь
решать методом координат задачи, связанные с параллельностью и
перпендикулярностью прямых, пересечением прямых, нахождением точек
пересечения.
34) Выводить и владеть уравнением окружности. Использовать метод
координат для нахождения пересечений окружностей и прямых. Владеть
формулами расстояния от точки до прямой, площади параллелограмма в
координатах, иметь понятие об ориентированной площади. Пользоваться
методом координат на плоскости, применять его при решении
геометрических и практических задач. Применять метод координат в
практико-ориентированных геометрических задачах.
35) Владеть понятием вектора. Уметь складывать и вычитать векторы,
умножать на число, владеть правилами треугольника и параллелограмма.
Владеть практическими интерпретациями векторов. Уверенно пользоваться
координатами вектора. Владеть сложением и вычитанием векторов,
умножением вектора на число в координатах. Иметь представление о базисе
(на плоскости). Раскладывать векторы по базису. Раскладывать векторы сил с
помощью проецирования и тригонометрических соотношений. Применять
полученные знания в простейших физических задачах.
36) Владеть понятием скалярного произведения векторов, понимать его
геометрический смысл и уверенно пользоваться его выражением в
декартовых координатах. Знать дистрибутивность скалярного произведения
и его связь с проецированием. Применять скалярное произведение векторов
для нахождения длин и углов. Решать геометрические задачи с помощью
скалярного произведения. Использовать скалярное произведение векторов в
алгебраических и физических задачах.
37) Владеть понятиями правильного многоугольника, длины
окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, вычислять
площадь круга и его частей. Понимать смысл числа π. Применять
полученные умения при решении практических задач. Знать исторические
сведения об измерении длины окружности и площади круга.
38) Иметь представление о преобразовании плоскости, о движениях.
Находить оси, центры симметрии фигур, центры поворота, находить

композиции простейших преобразований. Применять движения плоскости
при решении геометрических задач.
39) Применять полученные знания на практике – строить
математические модели для задач реальной жизни и проводить
соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрических
функций (пользуясь, где необходимо, калькулятором).

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
8 КЛАСС
№
п/п

1

2

Наименование разделов и тем
программы

Числа и вычисления (квадратные
корни, иррациональные числа,
степени)

Алгебраические выражения

Количество
часов

Основное
содержание

Основные виды
деятельности

5

Квадратный корень.
Выполнение
операций с
иррациональными
числами. Точность
приближения
иррационального
числа при решении
задач. Округление
иррациональных
чисел, прикидка
результата
вычислений

Практикум по
решению задач: от
простого к
сложному.
Исследовательская
работа.
Квадратные
корни.

2

Дробнорациональные
выражения.
Степени.
Выполнение
тождественных
преобразо¬ваний
рациональных
выражений

Практикум по
решению задач: от
простого к
сложному

Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы

3

4

Четырехугольники

Уравнения и неравенства

4

Параллелограмм,
его признаки и
свойства.
Прямоугольник,
ромб, квадрат, их
признаки и
свойства. Трапеция.
Равнобедренная
трапеция, еѐ
свойства и признаки

Практикум по
решению задач: от
простого к
сложному.
Исследовательская
работа. Знакомые
незнакомые
четырехугольники

6

Квадратные
уравнения.
Определение
равносильных
уравнений.
Применение свойств
уравнений с одной
переменной.
Определение
количества
действительных
корней квадратного
уравнения. Решение
дробнорациональных
уравнений,
сводящихся к
линейным или к
квадратным
уравнениям,

Исследовательская
работа:
равносильность и
следствие.
Практикум по
решению
сюжетных задач.
Практикум по
решению задач: от
простого к
сложному –
дробнорациональные
уравнения.
Исследовательская
работа (в том
числе с
использованием
«математических
пакетов»):

5

Центрально-симметричные фигуры.
Пропорциональные отрезки.
Подобие. Преобразование подобия.
Площади.

3

использование
метода замены
переменной.
Решение текстовых
задач
алгебраическим
способом: переход
от словесной формулировки условия
задачи к
алгебраической
модели путем
составления
уравнения; решение
составленного
уравнения;
интерпретация
результата.
Графическая
интерпретация
уравнений с двумя
переменными

графическая
интерпретация
уравнений с двумя
переменными.
Моделирование
различных
ситуаций

Формулировка
определения и
доказа-тельство
свойств центральносимметрич-ных
фигур. Средняя
линия треугольника.
Средняя линия

Самостоятельное
открытие: что
такое
преобразование
подобия?
Исследовательская
работа (в том
числе с

6

Доказательства неравенств

2

трапеции. Теорема
Фалеса.
Пропорциональные
отрезки. Введение
понятия
преобразования
подобия и подобных
фигур. Соотношения
в подобных
фигурах. Задачи на
нахождение
площади с
использованием
разбиения на части и
достраивание.
Метод площадей.

использованием
«математических
пакетов»): что
такое фрактал?
Практикум по
решению задач

Оценка значения
выражения с
исполь-зованием
неравенств.
Применение свойств
неравенств в ходе
решения задач.
Определение
равносильных
неравенств.
Доказательство
неравенств. Решение
текстовых задач с
помощью линейных

Практическая
работа:
построение
моделей –
неравенство как
модель реальной
ситуации.
Самостоятельное
открытие: методы
доказательства
неравенств.
Математическое
соревнование –
решение задач

7

8

Прямоугольные треугольники

Функции

неравенств с одной
переменной.
Исследование
линейного
неравенства с одной
переменной с
параметром

разными
методами.
Исследовательская
работа: линейное
неравенство с
одной переменной
с параметром

4

Теорема Пифагора и
ее применение.
Доказательство
соотношений между
пропорциональными
отрезками в прямоугольном
треугольнике.
Применение
соотношений при
решении
геометрических
задач.
Тригонометрические
функции в
прямоугольном
треугольнике.

Практикум по
решению
практико-ориентированных задач.
Самостоятельное
открытие: что я
знаю про
прямоугольный
треугольник?
Математическое
соревнование –
решение задач
разными методами

2

Поиск области
определения и
множества значений
функции. График
функции k/x.

Исследовательская
работа (в том
числе с
использованием
«математических

Функция вида (ax +
b)/(cx + d)

9

Числа и вычисления: делимость

10

Вписанные и описанные
четырехугольники

пакетов»):
исследование
функций.
Самостоятельное
открытие:
функция вида (ax
+ b)/(cx + d)

2

Формулировка
определения
делимости нацело,
чисел, сравнимых по
данному модулю.
Выполнение
деления с остатком.
Доказательство и
применение свойств
сравнений по
модулю.
Нахождение
остатков суммы и
произ-ведения по
данному модулю

Исследовательская
работа: делимость.
Самостоятельное
открытие:
сравнение по
модулю.
Проблемный
практикум:
решение задач на
поиск остатков
суммы и
произведения по
модулю.
Математическое
соревнование –
решение задач на
делимость и
сравнение по
модулю

3

Вписанные и
центральные углы.
Углы между

Практикум по
решению задач: от
простого к

хордами и
секущими.
Вписанные и
описанные
четырѐхугольники.
Взаимное
расположение двух
окружностей

11

Повторение, обобщение,
систематизация

ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ

1

34

Выполнение
исследовательской
работы. Выполнение
и защита проекта

сложному

Исследовательская
работа:
Четырехугольники
и окружности
Проект:
Четырехугольники
и окружности

9 КЛАСС
№
п/п

1

2

Наименование разделов и
тем программы

Уравнения и неравенства с
параметром

Решение треугольников

Количество
часов

Основное
содержание

Основные виды
деятельности

3

Решение уравнений с
параметром
алгебраическим
методом.
Графический метод
решения уравнений с
параметром
Графическая
интерпретация
решения уравнения с
двумя переменными и
систем уравнений с
двумя переменными.
Исследование систем
нелинейных
уравнений с
параметром. Решение
неравенств с двумя
переменными и их
систем

Самостоятельное
открытие: решение
уравнений с параметром.
Практикумы по решению
задач: от простого к
сложному – дробнорациональные уравнения
и неравенства с
параметром.
Исследовательские
работы: решение задач с
параметрами –
алгебраическим методом;
графическим методом (в
том числе с
использованием
«математических
пакетов»)

3

Формулы
приведения. Решение
практических задач с

Практикумы по решению
задач. Математическое
соревнование – решение

Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы

исполь-зованием
теоремы косинусов и
теоремы синусов.
Формула Герона.
Формула площади
выпуклого
четырехугольника.
Соотношения между
тригонометрическими
функциями.
Простейшие формулы
приведения из геометрических
соображений.
Решение задач с
использованием
теорем косинусов и
синусов, нахождение
радиуса описанной
окружности

3

Алгебраические выражения

5

Степень с
рациональным
показателем.
Определение корня nй степени и степени с
рациональным
показателем.
Применение
операции извлечения
корня n-й степени,

геометрических/практикоориентированных задач
разными методами

Практикум по решению
задач: от простого к
сложному.
Математическое
соревнование

используя при
необходимости
калькулятор.
Вычисление значения
степени с рациональным показателем.
Оценка значений
корня n-й степени,
значение степени с
рациональным показателем целыми
числами и
десятичными
дробями. Сравнение и
упорядочивание
рацио-нальных и
иррациональных
чисел, записанных с
помощью корня n-й
степени, степени с
рациональным
показателем.
Выполнение
тождественных
преобразо-ваний
выражений,
содержащих корень
n-й степени, степень с
рациональным
показателем

4

5

Отрезки в окружности

Функции

3

Теоремы о
произведении
отрезков хорд,
теоремы о
произведении
отрезков секущих,
теорема о квадрате
касательной, теоремы
Чевы и Менелая.
Исследование, в том
числе с помощью
цифровых ресурсов,
изучаемых конфигураций. Применение
данных теорем при
решении
геометрических
задач. Знакомство с
понятием гомотетии,
с его применением, в
том числе в
практических
ситуациях

Самостоятельное
открытие (в том числе с
использованием
«математических
пакетов»): Теоремы Чевы
и Менелая. Практикум по
решению задач.
Практикум по
построению
динамических моделей с
помощью программных
средств.
Исследовательская работа
с помощью программных
средств: гомотетия и ее
свойства

4

Понятие «функция».
Применение свойств
функций: нули
функции, промежутки
знакопостоянства
функции, промежутки
возрастания и

Исследовательская работа
(в том числе с
использованием
«математических
пакетов»): Поведение
функции и ее графика в
зависимости от

6

Векторы. Метод координат

5

убывания функции,
четные и нечетные
функции, наибольшее
и наименьшее
значения функции
при решении задач.
Построение графиков
функций с помощью
преобразований вида:
f(x) →f(x) + а; f(x) →
f(x + а); f(x) → kf(x),
f(x) →f(| x |), f(x) → |
f(x) |. Распознавание
степенных функций и
построение эскизов
графиков степенных
функций с
натуральными
показателями разной
четности.
Использование
свойств графиков
степенных функций с
натуральными
показателями при
решении задач.
Построение графиков
функций y = √x, y =
∛ x, y = | x |

параметра. Практикумы
по решению задач:
построение графиков
функций y= √х , y = ∛ х, y
= | x |; с помощью
преобразований и
проверка с
использованием
программных средств

Параллельность и

Самостоятельное

7

Правильные многоугольники.
Окружность и
многоугольники

3

перпендикулярность
прямых (через
угловой
коэффициент).
Нахождение
пересечений
окружностей и
прямых в
координатах.
Формула расстояния
от точки до прямой.
Площадь
параллелограмма в
координатах, понятие
об ориентированной
площади.
Применение метода
координат в
практикоориентированных
геометрических
задачах, исследование
приложения метода
координат в
вычислительной
математике и
информатике

открытие: как решить
геометрическую задачу с
помощью аппарата
алгебры?
Исследовательская работа
(в том числе с
использованием
«математических
пакетов»): решение
практикоориентированной
геометри¬ческой задачи
методом координат.
Математическое
соревнование – решение
геометрических задач
разными методами

Правильные
многоугольники,
вычисление их

Самостоятельное
открытие: как найти
периметр и площадь

элементов
Вычисление
периметров и
площадей сложных
фигур, включающих
элементы круга

8

Числовые последовательности
и прогрессии

4

Определение видов
последовательностей:
ограниченная
последовательность,
моно-тонно
возрастающая
(убывающая)
последо-вательность.
Представление
бесконечных
периодических
дробей в виде
обыкновенных.
Знакомство с
понятием сходимости
последовательности,
нахождение суммы
бесконечно
убывающей
геометрической
прогрессии.
Применение метода
математической
индукции

сложной фигуры?
Практикум по решению
задач повышенной
сложности

Исследовательская
работа: поведение
последовательностей – от
гипотезы до доказательства. Дискуссия на
основе решения задач:
является ли ММИ
универсальным?
Самостоятельное
открытие: ММИ – метод
доказательства: сумма
членов последовательности. Практикум
по решению задач:
доказательство
неравенств и
доказательство делимости
ММИ

9

10

Движения плоскости

Повторение, обобщение,
систематизация

2

Центральная
симметрия.
Центральносимметричные
фигуры. Поворот.
Осевая симметрия.
Фигуры,
симметричные
относительно
некоторой оси.
Параллельный
перенос. Понятие
движения и его
свойства. Равенство
фигур. Проявления
симметрии в природе,
живописи,
скульптуре,
архитектуре.
Композиции
движений
(простейшие
примеры).
Применение в
решении
геометрических задач

Исследовательская работа
(в том числе с
использованием
программных средств):
композиция движений.
Самостоятельное
открытие: формулировка
выводов о свойствах
композиций движений.
Проект: преобразования
(движения) в искусстве

2

Решение задач,
иллюстрирующих
связи между
различными темами

Проект: «Преобразования
в искусстве и
архитектуре» Итоговая
конференция:

курса Повторение,
обобщение,
систематизация курса
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ
ПО ПРОГРАММЕ

34

«Математика – это
красиво»